丁 颖 韩 冬

     来源：《电子技术应用》

     摘要：提供了一种每周波四点采样的最小二乘方滤波器，通过整型变换和查表求根等优化算法，可在单片机中实现相量的快速测量。分析了滤波器中相量的相位关系，并提供了两线制功率的计算方法。

     关键词：最小二乘方滤波器

     向量 单片机 功率

     目前，以单片机为基础的数字式电气测量、保护装置已成为主流形式。交流信号直接采样也已成为一种普通的方法。快速傅立叶算法是其中的主要算法，而最小二乘方算法，计算量很大，特别是在单片机的处理能力有限的情况下，既要保证实时性，又要保证计算速度，不经过精心设计和程序优化，很难保证二者的统一。

     通过减少采样次数、使用每周滤四个采样点拟合的滤波器和一套优化措施，使该算法计算速度大大提高，可以胜任工频向量的实时测量，因而可以用于过流、速断、方向保护等多个方面。本文分析了滤波器中的向量相位关系，同时给出了以此为基础的两线制功率计算举例。该方法已通过实际应用检验。

     1 最小二乘方滤波器的构造

     根据文献[1～3]的研究结果，对每一路信号，输入电压函数可表示为：

     式中：

     p0——直流分量值

     pk——第k次谐波分量的幅值 k=1,…，n

     θk——第k次谐波的相对起始相角

     k=1，…，n

     ω——基波角频率，ω=2πf,f=50hz

     λ——常数，等于直流分量衰减时间常数

     在一般测量、保护应用中，只关心基波成分。为减少计算量，应最大限度地减少采样次数。根据采样定理，一个正弦函数的离散采样次数量少每周波3次。为方便起见，将每周波采样次数定为4次，即采样周期为5ms。则公式（1）中只能包含直流和工频分量。将直流分量按泰勒级数展开并取其前两项，则（1）式成为：

     u(t)=p0-p0λt+p1sin(ωt)cos(θ1)+p1cos(ωt)sin(θ1)

     (2)

     其中，p0为直流分量值，p1为基波峰-峰值，θ1为基波分量在采样时刻相对于零点的相位角。

     若以最近连续4次采样值为样本，可得到4个采样方程。如将p0、-p0λ、p1cos(θ1)p1sin(θ1)作为待测未知数，可将4个采样方程表示成如下矩阵：

     若分别用符号a表示系数矩阵，x表示未知参数向量，u表示采样值，则：

     x=a -1u (3)

     其中a-1表示a的逆矩阵，亦即向量x的最小二乘方滤波器。根据文献[3]，这个滤波器为：

     因此，

     p1cos(θ1)=∑a-1[3][i]u[i]

     i=1,4 (4)

     p1sin(θ1)=∑a-1[4][i]u[i]

     i=1,4 (5)

     cos(θ1)=p1cos(θ1)/p1

     (6)

     sin(θ1)=p1sin(θ1)/p1

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