实际问题当中常常需要计算积分，有些数值方法如微分方程和积分方程的求解，也都和   J107   
                                                        b
积分计算相联系。依据人们所熟知的微积分基本定理，对于,I=  F(x)dx，只要找到被积函
                                                        a
数F(x)的原函数F(x)，便有牛顿一莱布尼兹(Newton-Leibniz)公式：

                    b
                     F(x)dx=F(b)-F(a)
                    a 

    但实际使用这种求积方法往往有困难，因为大量的被积函数，如sinx/x,smx2等，找不

到用初等函数表示的原函数；另外，当F(x)是由测量或数值计算给出的一张数据表时，牛顿一

莱布尼兹公式也不能直接运用，因此有必要研究积分的数值计算问题。

  2.2.1数值积分

  数值积分的基本思想是构造一个简单函数(如多项式)来近似代替被积分函数F (x)，
          b           d
然后通过求 pn(x)dx求得(x)dx的近似值。
          a            a
    就一元函数而言，求定积分等价于求函数曲线与x轴之间的面积。对于积分
    d
，I=(x)dx，最容易计算面积的几何形状为矩形，因此可把区间以a≤x≤6分成n个相等的
    a           d-a
子区间，其宽度Ax___，如图2.11所示。J113  
                 n

图2.11定积分

    当n充分大，即Ax充分小时，可把每一个小区间对应的
                              X1
面积近似地用矩形面积来代替，即  F(x)dx=F(X)AX，这时
                              X1-1
积分I可用下式来计算：

    在实际计算中，一般都是对时间f积分，被积函数值均由

采样计算得到，即测量得到的为F1,F2，…，Fn，而Ax为采样周

期At，这样可把式(2.12)改写为

                                                                       (2.13)
    在编程序计算时，可采用累加方法，即当前的积分值等于前次积分值加上本次测量计算

值。启动时，积分值的初值为零。

  2.2.2数值微分

  在微处理器应用电子系统中，有时会需要计算微分。例如，在测量物体的运动速度v或

加速度口时，就需计算微分，有
      ds          dv d2S   "
    v___s'      a=__=___=s
      dt          dt  dt2
    另外，在微处理器控制系统的PID调节计算中，也要计算微分。

    在微处理器系统中，多数情况下，微分计算无法用公式表示，并且时刻都在变化，因而

只能采用近似方法求其数值导数。数值微分方法通常是用相邻节点处的函数值的某种线性组

合作为函数在某点处的导数的近似值。常用的数值微分方法分为三类：显格式计算方法，隐

格式计算方法及外推算法。JA3202-PS-A03  

    由泰勒级数有
  
    如不考虑高阶导数，可得:，如果令x=X1,则有

  可改写成

  为提高精度，还可采用多点数值求导法。这种方法的基础是插值多项式，即把已知点

x1(i=1，2，…，n)作为插值节点，求出F(x)的，N次插值多项式Pn(X)，然后用pn(x)近似代替

f(x)，并对pn(X)求导，就可得到F(x)的导数的近似表达式。实际应用中，一般使用拉格朗

日插值多项式。
  对于n=l，有
 
对于n=2,有

在p2'(X)式中取x= X2，可得到一阶三点近似求导公式：                                    (2.16)

如果对p2'(X)式两次求导，煞后令x= X2，则可得到二阶三点近似求导公式：
  
                                                                         
                                                                                    (2.17)
    生产过程待测参数经传感器及检测电路变换成A/D转换器所能接收的电压信号，以便

于微处理器进行采集和数据处理。之后为进行显示、记录、报警及累计等，必须把这些数字

量转化成与被测参数相对应的参量，便于操作人员对生产过程进行监视和管理，这就是所谓

的标度变换，又称为工程量变换。变换的前提条件是测量值与工程量的关系为线性。

2.3.1  标度变换原理

    对于线性系统，假设满足如下条件：①Ym为测量仪器的上限（传感器输出上限）；②Yo

为测量仪器的下限（传感器输出下限）；③Yx为测量仪器的实际测量值；④Nm为仪器上限

所对应的数字量；⑤No为仪器下限所对应的数字量；⑥Nx为实际测量值所对应的数字量。

则根据线性比例关系能得到即

   Ym-YO  YX-Y0
   ______=_____
   Nm - No Nx -No

    式中，Ym、Yo、Nm、No对某一固定的被测参数来说，它们是常数，仅是不同的参数有不

同的量纲和数值而已。

     此外，为了测量方便，把被测参数的起点Yo所对应的A/D转换值一般设定为0，即No =0，因此式(2.18)改写为
                              Ym-Y0
                        YX=Y0=_____NX
                                 Nm
      式(2.18)和式(2.19)称为参量标度变换公式。

     在微处理器(单片机)应用电子系统中，为实现上述转换，可把它设计成专用子程序。若所有被测参数所对应的Ym、Yo、Nm、N0均已知，则当某一个参量需要进行标度变换时，只要调用标度变换子程序即可。

    例如，某热处理炉温度系统，测量仪表的量程为200～800℃，在某一时刻微处理器采样并经8位A/D转换后数字量为CDH。

    假设使用参量标度变涣公式(2.19)进行计算，则得到此时对应的温度为
          Ym-YO                  CDH          205
    YX=Yo+_____NX=200+(800 - 200)____=200+600X___=682℃
            Nm                   FFH          255
 
2.3.2  线性信号的标度变换

    在测量系统中，被检测参数的对应参数Ym、Y0、Nm、No已知，并且均为常数，Nx也由A/D转换器得到。由式(2.18)得到线性刻度的标度变换计算公式为
            NX-NO
      YX=Y0=____(Ym-YO)
            Nm-NO
    线性信号标度变换程序流程图如图2.12所示。

图2.12线性信号标度变换程序流程图