摘要：欧氏几何学不能处理自然界中非常复杂的形状，这只能借助于分形几何学。分形图象压缩就是利用分形几何学的有关原理进行编码，达到图象压缩之目的。

    关键词：分形 收缩仿射变换 迭代函数系统

1 分形的概念

    分形（fractal）一词是由分形理论的现代奠基人曼德尔布罗特在1975年造出来的，这个词的拉丁词根含义是“破碎的、分裂的”。分形几何或分形理论研究的对象是那些很不规则而有自相似性的形状。所谓很不规则是指粗糙、不光滑、破碎、扭曲、缠绕等特性。典型的代表是海岸线的形状或者云彩、山峰、树页的形状。传统的鸥几里德几何处理的是直线、由直线段组成的多边形、圆以及由不太复杂的函数定义的曲线。对于很不规则的形状，传统的几何学就难以处理了。典型的例子如“不列颠的海岸线有多长”。若以传统的方法测量，海岸线的长度将取决于所用量尺的长度。对较长的量尺，一些弯曲的细节就回被忽略，因而海岸线的长度就会较短；短的量尺可以量出一些细节，量出的海岸线就较长。如此推算下去，当量尺的长度很小时，由于海岸线的形状极其复杂，量得的长度就会变得极大。

    看看由瑞典数学家科和在1904年设计的一段曲线：在单位长度的直线段E0中间，以边长为1/3 E0的等边三角形的两边去代替E0中间的1/3，得到E1（见图1.1）。对E1的每条线段重复上述做法又得到E2，对E2的每段又重复，如此下去得到的极限曲线就是科和曲线。显然，科和曲线处处是尖点，因而处处没有切线；它的长度也不难证明是无穷的，因而传统的几何方法对科和曲线很难处理。

    波兰数学家谢尔品斯基从平面二维图形出发，用重复某一过程的办法形成的曲线也是分形曲线的典型例子。如谢尔品斯基垫，它以一个三角形作为源图形，以源三角形的1/4大小的倒三角形作为生成元。在源三角形中除去生成元，然后在剩下的3个三角形中重复这一步骤，得到9个更小的三角形，不断重复上述步骤得到的极限曲线就称为谢尔品斯基垫（见图1.2）。

    分形理论和应用发展很快,但至今还没有关于什么是分形的统一定义.一般公认法尔科纳对分形定义的描述比较合理:

    * 分形应有精细的结构,有任意小比例的细节;

    * 它是如此的不规则,以至其局部和整体都不能用传统的几何语言来描述;

    * 分行通常有某种自相似的形式,可能是近似的或是统计的;

    * 其“分形维数"一般大于其拓扑维数;

    * 分形通常能以非常简单的方法定义,由迭代方法产生。

    从科和曲线或谢尔品斯基垫的例子中不难看到以上特点，但“分形维数”值得一提。“分形维数”是一个表征分形复杂或粗糙程度的量，在欧氏几何中，维数总是取整数，直线是一维，平面是二维，立体是三维。把欧氏维数的概念推广，得到的就是分形维数定义之一的相似维数。推广过程如下。在图1.3中，以尺寸为ε的量尺测量大小为L的物体，量得的个数记为N， 

    则有N = （ L/ε）d

    其中d就是维数，从图中可以看出，d分别为1，2，3。也可以认为：

    d = lnN / ln（L/ε）

    摘要：欧氏几何学不能处理自然界中非常复杂的形状，这只能借助于分形几何学。分形图象压缩就是利用分形几何学的有关原理进行编码，达到图象压缩之目的。

    关键词：分形 收缩仿射变换 迭代函数系统

1 分形的概念

    分形（fractal）一词是由分形理论的现代奠基人曼德尔布罗特在1975年造出来的，这个词的拉丁词根含义是“破碎的、分裂的”。分形几何或分形理论研究的对象是那些很不规则而有自相似性的形状。所谓很不规则是指粗糙、不光滑、破碎、扭曲、缠绕等特性。典型的代表是海岸线的形状或者云彩、山峰、树页的形状。传统的鸥几里德几何处理的是直线、由直线段组成的多边形、圆以及由不太复杂的函数定义的曲线。对于很不规则的形状，传统的几何学就难以处理了。典型的例子如“不列颠的海岸线有多长”。若以传统的方法测量，海岸线的长度将取决于所用量尺的长度。对较长的量尺，一些弯曲的细节就回被忽略，因而海岸线的长度就会较短；短的量尺可以量出一些细节，量出的海岸线就较长。如此推算下去，当量尺的长度很小时，由于海岸线的形状极其复杂，量得的长度就会变得极大。

    看看由瑞典数学家科和在1904年设计的一段曲线：在单位长度的直线段E0中间，以边长为1/3 E0的等边三角形的两边去代替E0中间的1/3，得到E1（见图1.1）。对E1的每条线段重复上述做法又得到E2，对E2的每段又重复，如此下去得到的极限曲线就是科和曲线。显然，科和曲线处处是尖点，因而处处没有切线；它的长度也不难证明是无穷的，因而传统的几何方法对科和曲线很难处理。

    波兰数学家谢尔品斯基从平面二维图形出发，用重复某一过程的办法形成的曲线也是分形曲线的典型例子。如谢尔品斯基垫，它以一个三角形作为源图形，以源三角形的1/4大小的倒三角形作为生成元。在源三角形中除去生成元，然后在剩下的3个三角形中重复这一步骤，得到9个更小的三角形，不断重复上述步骤得到的极限曲线就称为谢尔品斯基垫（见图1.2）。

    分形理论和应用发展很快,但至今还没有关于什么是分形的统一定义.一般公认法尔科纳对分形定义的描述比较合理:

    * 分形应有精细的结构,有任意小比例的细节;

    * 它是如此的不规则,以至其局部和整体都不能用传统的几何语言来描述;

    * 分行通常有某种自相似的形式,可能是近似的或是统计的;

    * 其“分形维数"一般大于其拓扑维数;

    * 分形通常能以非常简单的方法定义,由迭代方法产生。

    从科和曲线或谢尔品斯基垫的例子中不难看到以上特点，但“分形维数”值得一提。“分形维数”是一个表征分形复杂或粗糙程度的量，在欧氏几何中，维数总是取整数，直线是一维，平面是二维，立体是三维。把欧氏维数的概念推广，得到的就是分形维数定义之一的相似维数。推广过程如下。在图1.3中，以尺寸为ε的量尺测量大小为L的物体，量得的个数记为N， 

    则有N = （ L/ε）d

    其中d就是维数，从图中可以看出，d分别为1，2，3。也可以认为：

    d = lnN / ln（L/ε）