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布赖恩·康拉德
椭圆积分。正如三角函数可以通过反演介绍
√
形式DX的整体功能西昂/
x
2
1过程中出现的计算
弧长沿单位圆，椭圆函数论的前身是一个研究
形式DX的整体功能反转/
P
（ x）的某些立方和quar-
抽动多项式
P
(X)
∈
[ X]
无重根;这样的积分中出现的
弧长沿椭圆的计算。在一般情况下，如果
P
(X)
∈
[ X]
任何单胞菌
多项式度
≥
3 ，无重根那我们声称DX /
P
(x)
√
is
不
一个基本功能。自
K
=
C（ X，
P
）是一个基本的网络连接视场，由
标准定理4.1苏FFI CES证明不存在的身份
形式
g
j
1
=
c
j
+
h
g
j
P
(x)
非零
c
1
, . . . , c
n
∈
C,
非零
g
1
, . . . , g
n
∈
K,
和
h
∈
K.
这种不可能性
是从紧Riemann曲面的理论一般事实的后果。
更具体来说，谁知道一点关于这个理论的先进读卡器，
以上的身份相当于亚纯1形式的平等
dx
dg
j
=
c
j
DH +
y
g
j
在紧凑的黎曼曲面
C
相关的方程
y
2
=
P
（ x）中，并且为
度（P）的
＆ GT ;
2的左侧是一个非零全纯1形式的
C.
但是，一个非零
全纯1形式在紧凑黎曼曲面从未承认的表达
作为对数亚纯二的线性组合FF erentials DG /克，精确
亚纯二FF erentials DH 。
刘维尔定理的证明依赖于对双FF ER-感性代数研究
无穷区间连接的视场。我们建议读者参考[ 1 ，
§4–§5]
对于定理4.1的证明，我们
现在我们的注意力集中于使用并证明下列标准浮现
其结果是：
定理
4.4.
选择
F，G
∈
C（ X）
同
f
= 0
和
g
非恒定。该
功能
f
（X ）电子
G（ X）
可以集成在基本方面，当且仅当存在
有理函数
R
∈
C（ X）
这样
R
(X) +
g
（X）中的R（ x）=
f
(X)
in
C（X ） 。
在这个定理的条件的内容不说，迪FF erential方程
R
(x) +
g
（X）中的R（ x）=
f
（ x）具有的溶液作为
C-价值
迪FF erentiable功能
x
（因为我们可以
总是
写下一个简单的积分公式，通过一个解决方案
积分因子） ，而不是有一个与特殊属性的溶液
它是一个
有理函数
in
x.
（因为这样
R
∈
C（ X） ，
R（ x）的é
G（ X）
是一个
初等防导
f
（X ） ）。在特定网络例子，如我们将要看到的，也可以是
证明确实存在
不
在存在一个有理函数
x
这解决了二FF erential
方程
R
(x) +
g
（X）中的R（ x）=
f
（ X） ;这就是我们将如何验证某些功能
的形式下
f
（X ）电子
G（ X）
不能
集成在基本条件。扣除
定理4.4从定理4.1中给出了
§5,
而本节的其余部分
致力于运用定理4.4计算高斯的问题
积分和对数积分的基本条件。
备注
4.5 。在下文中，我们将系统与网络连接的工作场
C（ X）
作为一个“抽象的”科幻场（与更为具体的这种明显的方式也identi网络版
科幻场
C（ X）
理性
C-价值
在一个开放的间隔功能
R).
在这个科幻场
的二FF erentiation操作
德网络定义
通过在标准配方
C [ X]
和
延伸至
C（ X）
通过商法则; 1检查无迪FFI culty这
