对信号进行频谱分析时，快速傅里叶变换(fft)是最为常用的方法。但fft存在一些难以克服的问题，限制了他的应用。在进行fft的实际运算时，只能对时域信号进行有限长度的截取，这将引起“泄露”现象［1］，fft还存在着频域分辨率和时间分辨率的矛盾，方差性能也较差［2］。

谐振器件的重复性、分辨率和稳定性非常优良，因此利用谐振原理并用数字方式进行单频点检测及频谱分析，就可以不受敏感元件材料的限制，设计出性能优异的单频点检测及频谱分析系统。

1　基本原理

谐振原理可以由谐振子的振动特性来说明。谐振子在工作的过程中，可以等效为一个单自由度的系统，如图1所示，其动力学方程为：

其中：m为振动系统的等效质量(kg)；
c为振动系统的等效阻尼系数(ns/m)；
k为振动系统的等效刚度(n/m)；

阻尼比系数或阻尼率。当ξ<<1时系统处于弱阻尼状态，系统响应为：

瞬态响应是一个阻尼振荡，振幅和初相位取决于初始条件，振幅按衰减；稳态响应是一个简谐振动，其频率等于f的频率。f0/k是系统在静负荷f0作用下产生的变形，称为“静变位”，而系统外力作用下产生的等幅振荡实质上是一种“动态变位”。h(ω)＝b/(f0/k)称为动力放大因子。

当λ?1时，h(ω)1，说明当激励频率远远小于系统固有频率时，系统振幅也近似等于静变位。当λ>> 1，h(ω)→0，这是因为f频率非常高，系统由于惯性而来不及随之振动。当λ1时，b急剧增大，发生共振。

2　系统的设计和实现

　　系统设计的关键在于：

　　(1)如何根据要求计算谐振子的参数m，c和k。　　
　　(2)设计好谐振子参数后，如何实现其关于具体输入信号的响应。

2．1　谐振子设计公式的推导

若给定谐振子的谐振频率ωr和谐振时系统的幅度放大倍数hm，需要得到其等效质量m、等效阻尼系数c和等效刚度k。工程上将谐振子的幅度增益达到最大时的工作 状态定义为谐振状态，谐振频率可以描述为：

为了方便计算和理解，可以令k＝1(n/m)，这时系统的“静变位”等于外力的幅值f0，hm即为系统谐振时谐振子对于作用外力f(t)的振幅放大倍数。解此方程组即可以得到式(6)：

在式(6)中，c还可以表示为：

2．2　系统的实现

　　系统实现的方法主要有：
　　(1)欧拉法及其改进。
　　(2)线性加速度法。
　　(3)纽马克－β法。
　　(4)威尔逊－θ法［3］。
　　根据后面的实验，威尔逊－θ法效果最好，所以具体讨论威尔逊－θ法。
　　威尔逊－θ法实际上是线性加速度法的一种变形，他是假设从t时刻到t＋θδt时刻加速度是线性变化的，由此可以得到以下方程组：

用不同的解法进行求解，可以得到不同的公式，这里选用比较流行的一组公式：

为了降低计算量，还可以将此公式进一步简化为：

其中，a1～4，b1～4和c1～4都是与k，m，c，δt，θ相关的常数，由于他们和k，m，c，δt，θ的关系过于复杂，这里不再给出。

3　仿真和实验

为了验证设计公式的正确性，用vc＋＋和matlab 6混合编程方式编写了一个谐振子仿真程序，该程序由3部分组成：

　　(1)仿真主界面。
　　(2)输入信号设置界面。
　　(3)系统参数设计计算界面。
他的主要功能也相应地分为3个部分：

　　(1)谐振子的运动仿真(可以选择使用不同的仿真算法，包括前面提到的4种算法)。
　　(2)设定输入信号f(t)的各个频率分量及其大小(输入信号由1～7个任意频率的正弦信号组成)。
　　(3)谐振子参数的计算。
　　使用此程序可以进行单个频率点检测的实验，其主界面如图2所示。

首先使用式(6)设计了一个谐振频率为100 hz，hm83为10的谐振子，其参数为：m＝2．52 kg，c＝0．000 158 ns/m，k＝1 n/m。其幅频和相频响应曲线如图3所示。

实验先验证各个仿真算法的稳定性。对于威尔逊-θ法，取θ＝1．40，输入信号频率为100 hz，当采样频率改变时的实验结果如表1所示。

从实验结果可以看出，只要采样频率是输入信号频率的3倍以上，威尔逊－θ法都是稳定的。其他几个方法也做了同样的实验，结果都不是很稳定。当采样频率是输入信号频率的50倍以上时，hm的仿真效果十分接近设计值，这也验证了设计公式的正确性。所以，以下的实验都采用威尔逊－θ法。

取θ＝1．40，采样频率为2 000 hz，则输入信号频率改变时的实验结果如表2所示。

从实验结果可以看出，当输入信号在谐振频率附近改变的时候，谐振的现象很明显。

取输入信号频率为100 hz，采样频率为2 000 hz，当θ改变时，威尔逊－θ法的实验结果如表3所示。从这个实验可以看出，当θ＜1．37时，虽然hm的仿真值更接近设计值，但是系统有点不太稳定。当θ＞1．42以上时，hm的仿真值与设计值偏差变大，所以合理的θ值应选取在1．37与1．40之间。

如果将实际信号直