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1 概述
在现代通信系统中，纠错码被用来提高信道传输的可靠性和功率利用率，因为它可以检测并纠正信号传输过程中引入的错误，抗干扰能力强，所以纠错码的设计是保证数据可靠传输的一个重要组成部分。
早在20世纪中期，香农(shannon)就提出并证明了著名的抗干扰信道编码定理：设某信道有r个输入符号，s个输出符号，信道容量为c。当信道的信息传输率r<c时，只要码长n足够长，总可以在输入集合(含有rn个长度为n的码符号序列)中，找到m(m≤2c-ε，ε为任意小的正数)个码字，分别代表m个等可能性的消息，组成一个信道编码，选择相应的译码规则，使信道输出端的译码过程的最小平均错误译码概率pe，min达到任意小。
抗干扰信道编码定理只是一个存在性定理。它表明平均错误译码概率pe趋向于0、信道信息传输率无限接近于信道容量的抗干扰信道编码是存在的。虽然香农并没有给出相应的实现方法，但在这一定理的指引下，纠错码已发展成信息论的一个专门分支学科。几十年来，随着通信技术的发展和实际应用的不断增加，人们一直在努力寻找能够更加逼近香农限的高性能的编译码方法。从早期的分组码、代数码、卷积码，到今天的turbo码、ldpc码，系统性能与香农限之间的差距越来越小。表1是几种重要编码的指标比较。
第2列为码率等于1／2的码型；第3列为不同类型码在1／2码率时，为实现通信错误译码概率pe<10-5所需要增加的信噪比。可见，bch码和卷积码与最优解还有很大距离。turbo码和ldpc码的性能指标十分接近香农干扰信道编码定理的最优解。ld-pc码是目前最逼近香农限的一类纠错码。
ldpc码是gallager最早于1962年提出的，亦称gallager码。之后，在turbo码研究的巨大成功的带动下，mackay等人重新研究了ldpc码，并发现它具有非常好的特点。基于良好的译码性能，ldpc码成为当前纠错编码的一个研究热点，目前，ldpc码已成为第4代移动通信编码技术中的首选。
2 ldpc码结构
ldpc码是一种可以用非常稀疏的校验矩阵来定义的线性分组纠错码，它是一种基于正则的稀疏二分图的编码，因此也称为正则低密度码。ldpc的编码主要是寻找一种合适的方法产生稀疏校验矩阵h，它与其他分组码的校验矩阵的区别在于它的矩阵中含有大量的0，仅含有少量的1。这也就是ldpc码性能优异的原因所在。该矩阵可以采用最大长度线性同余序列产生。
在ldpc码的研究过程中，tanner提出二分图(bipartite graph)模型对ldpc码进行分析。用二分图(见图1)表示ldpc码的优点是便于译码和进行性能分析。二分图和校验矩阵是直接对应的，由比特节点、校验节点和连接它们的边构成。每个校验节点fi对应于h矩阵的一行，每个比特节点xi对应于h矩阵的一列。当码字中某一比特包含在某一校验方程中，即校验矩阵中相应的位为1时，图1中的校验节点和比特节点之间存在连线。二分图也叫tanner图。对于每个节点，与之相连的边数称为这个节点的次数(degree)。根据二分图中消息节点和校验节点次数分布的不同，ldpc码可以分为正则码和非正则码。正则码就是每个消息节点的次数都相同，每个校验节点的次数也相同；非正则码就是消息节点的次数不都相同，校验节点的次数不都相同。
3 编码方法
一般情况下校验矩阵h是随机构造的，因而是非系统化的。在编码时像一般线性分组码一样，可以对矩阵h用高斯删除法，把它化为图2所示的下三角形形式。将码字x划分为系统部分s和校验部分c，即x=(s，c)。首先将n-m维信息符号作为s，再用回代法确定m个校验信号，即计算：
但是，当h很大时，高斯删除法的计算量过大，时间太长。因此，通常采用下面所述的准下三角形校验矩阵编码方法。
该编码过程主要分为预处理和实际编码两步。在预处理阶段，首先进行矩阵的行列置换，目前比较常用的转换方法是贪婪算法，变换后得到的矩阵是准下三角形的形式，如图3所示。然后还需要校验φ=～et-1b+d是非奇异的。
将校验矩阵h表示成如下形式，令式中：a为(m-g)×(n-m)矩阵；b为(m-g)×g矩阵；t为(m-g)x(m-g)矩阵；c为g×(n-m)矩阵；d为g×g矩阵；e为g×(m-g)矩阵。
t为一个方阵，而且它是一个对角元素为1的下三角矩阵。用矩阵日左乘 ，可得 ，因
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1 概述
在现代通信系统中，纠错码被用来提高信道传输的可靠性和功率利用率，因为它可以检测并纠正信号传输过程中引入的错误，抗干扰能力强，所以纠错码的设计是保证数据可靠传输的一个重要组成部分。
早在20世纪中期，香农(shannon)就提出并证明了著名的抗干扰信道编码定理：设某信道有r个输入符号，s个输出符号，信道容量为c。当信道的信息传输率r<c时，只要码长n足够长，总可以在输入集合(含有rn个长度为n的码符号序列)中，找到m(m≤2c-ε，ε为任意小的正数)个码字，分别代表m个等可能性的消息，组成一个信道编码，选择相应的译码规则，使信道输出端的译码过程的最小平均错误译码概率pe，min达到任意小。
抗干扰信道编码定理只是一个存在性定理。它表明平均错误译码概率pe趋向于0、信道信息传输率无限接近于信道容量的抗干扰信道编码是存在的。虽然香农并没有给出相应的实现方法，但在这一定理的指引下，纠错码已发展成信息论的一个专门分支学科。几十年来，随着通信技术的发展和实际应用的不断增加，人们一直在努力寻找能够更加逼近香农限的高性能的编译码方法。从早期的分组码、代数码、卷积码，到今天的turbo码、ldpc码，系统性能与香农限之间的差距越来越小。表1是几种重要编码的指标比较。
第2列为码率等于1／2的码型；第3列为不同类型码在1／2码率时，为实现通信错误译码概率pe<10-5所需要增加的信噪比。可见，bch码和卷积码与最优解还有很大距离。turbo码和ldpc码的性能指标十分接近香农干扰信道编码定理的最优解。ld-pc码是目前最逼近香农限的一类纠错码。
ldpc码是gallager最早于1962年提出的，亦称gallager码。之后，在turbo码研究的巨大成功的带动下，mackay等人重新研究了ldpc码，并发现它具有非常好的特点。基于良好的译码性能，ldpc码成为当前纠错编码的一个研究热点，目前，ldpc码已成为第4代移动通信编码技术中的首选。
2 ldpc码结构
ldpc码是一种可以用非常稀疏的校验矩阵来定义的线性分组纠错码，它是一种基于正则的稀疏二分图的编码，因此也称为正则低密度码。ldpc的编码主要是寻找一种合适的方法产生稀疏校验矩阵h，它与其他分组码的校验矩阵的区别在于它的矩阵中含有大量的0，仅含有少量的1。这也就是ldpc码性能优异的原因所在。该矩阵可以采用最大长度线性同余序列产生。
在ldpc码的研究过程中，tanner提出二分图(bipartite graph)模型对ldpc码进行分析。用二分图(见图1)表示ldpc码的优点是便于译码和进行性能分析。二分图和校验矩阵是直接对应的，由比特节点、校验节点和连接它们的边构成。每个校验节点fi对应于h矩阵的一行，每个比特节点xi对应于h矩阵的一列。当码字中某一比特包含在某一校验方程中，即校验矩阵中相应的位为1时，图1中的校验节点和比特节点之间存在连线。二分图也叫tanner图。对于每个节点，与之相连的边数称为这个节点的次数(degree)。根据二分图中消息节点和校验节点次数分布的不同，ldpc码可以分为正则码和非正则码。正则码就是每个消息节点的次数都相同，每个校验节点的次数也相同；非正则码就是消息节点的次数不都相同，校验节点的次数不都相同。
3 编码方法
一般情况下校验矩阵h是随机构造的，因而是非系统化的。在编码时像一般线性分组码一样，可以对矩阵h用高斯删除法，把它化为图2所示的下三角形形式。将码字x划分为系统部分s和校验部分c，即x=(s，c)。首先将n-m维信息符号作为s，再用回代法确定m个校验信号，即计算：
但是，当h很大时，高斯删除法的计算量过大，时间太长。因此，通常采用下面所述的准下三角形校验矩阵编码方法。
该编码过程主要分为预处理和实际编码两步。在预处理阶段，首先进行矩阵的行列置换，目前比较常用的转换方法是贪婪算法，变换后得到的矩阵是准下三角形的形式，如图3所示。然后还需要校验φ=～et-1b+d是非奇异的。
将校验矩阵h表示成如下形式，令式中：a为(m-g)×(n-m)矩阵；b为(m-g)×g矩阵；t为(m-g)x(m-g)矩阵；c为g×(n-m)矩阵；d为g×g矩阵；e为g×(m-g)矩阵。
t为一个方阵，而且它是一个对角元素为1的下三角矩阵。用矩阵日左乘 ，可得 ，因
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