有限元法可以处理无法得到解析解的偏微分及积分问题。对于有限元法,将所求物理空间或物SI4963BDY-T1-E3体进行有限个单元划分,每个单元内的场用简单的多项式函数近似。对于所求物理场的偏微分及积分问题,例如磁感应强度B,一般通过使用旋度或梯度表示的势函数处理。

      在此以一维问题进一步阐述。考虑关于势函数∮的一维泊松,此势函数∮可以是静电场中的静电势,而ρ可以是电荷线密度。为了完全定义￠,还需要给定边界条件,例如导数边界条件:用有限元法求解方程(1.3.1)需要将整个空间(线空间)划分为多个单元(线单元)。

      在每一个单元内部势函数用线性函数近似为 整个空间内势函数是连续的,因此对于有两个节点的线单元而言,每个节点被两个相邻单元共用。势函数的导数未必是连续的,例如对电势来说,不同单元的介电常数ε不同导致势函数的导数不连续。公式的另一种简化形式为如下节点形函数:其中,￠l和灿为节点上的势函数值。通过将整个空间进行离散化并用节点势函数值描述解的近似空间分布,再利用其他方法便可求解方程。

      使用比较多的方法有:变分法、最小乘方法和加杈余量法。其中加权余量法使用得最为广泛,它通过下式求解近似解: 其中W为权函数。对于电磁场方程,迦辽金法更为适用。迦辽金法将每个单元内的势函数用作权函数。方程(1.3.5)也被称为强形式,因为它对势函数的导数有必须连续的限制,而其中曰和8为方程的作用域。利用节点形函数使每一个 从而建立关于全部节点的线性方程组9用矩阵形式写为其中,Κ为系数矩阵(在力学有限元分析中也被称作刚性矩阵);Φ为待求各节点的势函数.